Fonction carré - Définition et variations

Définition

On appelle fonction carré la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2\).

Propriété Sens de variations

La fonction carré est strictement décroissante sur \(]-\infty~;~0]\) et strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(\color{red}{a<b}\), c'est-à-dire \(a-b<0\).
Soit \(f\) la fonction carré.
On a \(f(a)=a^2\) et \(f(b)=b^2\).
Étudions le signe de la différence \(f(a)-f(b)\).
\(f(a)-f(b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
On raisonne par disjonction de cas :

• Si \(a\) et \(b\) sont négatifs alors \(a+b<0\) et, comme \(a-b<0\) (par hypothèse), le produit \((a-b)(a+b)\) est positif.
  Donc \(f(a)-f(b)>0\), c'est-à-dire \(\color{red}{f(a)>f(b)}\). L'ordre est inversé. 
  La fonction carré est donc strictement décroissante sur \(]-\infty~;~0]\).
  
• Si \(a\) et \(b\) sont positifs alors \(a+b>0\) et, comme \(a-b<0\) (par hypothèse), le produit \((a-b)(a+b)\) est négatif.
  Donc \(f(a)-f(b)<0\), c'est-à-dire \(\color{red}{f(a)<f(b)}\). L'ordre est conservé.
  La fonction carré est donc strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).
  

Propriété Tableau de variations

Voici le tableau de variations de la fonction carré :

Conséquences

• Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre (\(2<4\) et \(4<16\)).
  
• Deux réels négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire (\(-4<-1\) et \(16>1\)).
  

Propriété

La fonction carré est positive.